Полное исследование функцииА) [tex]y = \frac{4 - 2x}{3x} [/tex]Б)[tex]y = \frac{1 - 2x {}^{2} }{4x} [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

A)

Найдем область допустимых значений переменной x. В знаменателе у функции присутствует переменная x, поэтому x не должен быть равен нулю. Таким образом, область допустимых значений x - это множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Найдем область значений функции y. Рассмотрим предел функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности:

[tex] \lim{{x \to \infty }} \frac{4 - 2x}{3x} = \lim{{x \to \infty }} \frac{-2x}{3x} = \lim_{{x \to \infty }} \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}[/tex]

[tex] \lim{{x \to -\infty }} \frac{4 - 2x}{3x} = \lim{{x \to -\infty }} \frac{-2x}{3x} = \lim_{{x \to -\infty }} \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}[/tex]

Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту y=-2/3. Область значений функции y - это множество всех действительных чисел, кроме -2/3.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Для оси абсцисс (y=0):
0 = (4 - 2x) / (3x)
4 - 2x = 0
2x = 4
x = 2

Для оси ординат (x=0):
y = (4 - 20) / (30) = 4/0 - данное значение не имеет смысла.

Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точке (2, 0).

Найдем производную функции:

[tex]y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{4 - 2x}{3x} \right)[/tex]
[tex]y' = \frac{3x(-2) - (4 - 2x)3}{(3x)^{2}}[/tex]
[tex]y' = \frac{-6x - 12 + 6x}{9x^{2}}[/tex]
[tex]y' = -12 / 9x^{2}[/tex]

Найдем точки экстремума функции:

Посчитаем вторую производную:

[tex]y'' = \frac{d^{2}}{dx^{2}} \left( \frac{-12}{9x^{2}} \right)[/tex]
[tex]y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{12}{9x^{2}} \right)[/tex]
[tex]y'' = \frac{(-12)29x^{3} - 12(9x^{2})2}{(9x^{2})^{2}}[/tex]
[tex]y'' = \frac{-216x^{3} + 216x^{3}}{(9x^{2})^{2}}[/tex]
[tex]y'' = 0[/tex]

Точки экстремума отсутствуют, так как вторая производная равна нулю.

Построим график функции:

Gnuplot example:
set xrange [-10:10]
set yrange [-10:10]
plot (4 - 2x) / (3x)

Б)

Найдем область допустимых значений переменной x. x не должен равняться нулю, так как он находится в знаменателе функции. Область допустимых значений x - это множество всех действительных чисел, кроме нуля.

Найдем область значений функции y. Рассмотрим предел функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности:

[tex]\lim{{x \to \infty }} \frac{1 - 2x^{2}}{4x} = \lim{{x \to \infty }} \frac{-2x^{2}}{4x} = \lim{{x \to \infty }} -\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\lim{{x \to \infty }} -\frac{x}{2} = -\infty[/tex]

[tex]\lim{{x \to -\infty }} \frac{1 - 2x^{2}}{4x} = \lim{{x \to -\infty }} \frac{-2x^{2}}{4x} = \lim{{x \to -\infty }} -\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\lim{{x \to -\infty }} -\frac{x}{2} = -\infty[/tex]

Таким образом, область значений функции y - это множество всех действительных чисел.

Найдем точки пересечения с осями координат:

Для оси абсцисс (y=0):
0 = (1 - 2x^{2}) / 4x
1 - 2x^{2} = 0
2x^{2} = 1
x^{2} = 1/2
x = ±√2

Для оси ординат (x=0):
y = (1 - 20^{2}) / 40 = 1/0 - данное значение не имеет смысла

Таким образом, функция пересекает ось абсцисс в точках (±√2, 0).

Найдем производную функции:

[tex]y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - 2x^{2}}{4x} \right)[/tex]
[tex]y' = \frac{4x(-4x) - (1 - 2x^{2})4}{(4x)^{2}}[/tex]
[tex]y' = \frac{-16x^{2} - 4 + 8x^{2}}{16x^{2}}[/tex]
[tex]y' = \frac{-8x^{2} - 4}{16x^{2}}[/tex]
[tex]y' = \frac{-8x^{2} - 4}{16x^{2}} = -\frac{x^{2} + 1}{2x^{2}}[/tex]

Найдем точки экстремума функции:

Приравняем производную к нулю и найдем x:

x^{2} + 1 = 0
x^{2} = -1 - такого значения не существует
Таким образом, функция не имеет точек экстремума.

Построим график функции:
Gnuplot example:
set xrange [-10:10]
set yrange [-10:10]
plot (1 - 2*x*2) / (4x)