На плоскости сидят красные и синие хамелеоны так, что никакие три хамелеона одного цвета не сидят на одной прямой (хамелеонов каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три хамелеона одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого сидит не более двух хамелеонов другого цвета.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть среди всех красных хамелеонов выберем тройку, образующую наибольший треугольник. Без ограничения общности, пусть это будут хамелеоны A, B и C. Предположим, что какие-то из хамелеонов D, E, F не лежат внутри треугольника ABC (то есть допустим, что они лежат на его сторонах или за его пределами).

Рассмотрим отрезок AB. Если на нем нет хамелеонов синего цвета, то добавим к тройке A, B, C синего хамелеона, лежащего на прямой, проходящей через точки A и B. Тогда, по условию, хамелеоны этой четверки образят треугольник с вершинами A, B и D (E, F), на сторонах которого будут лежать не более двух хамелеонов красного цвета. Это будет противоречить тому, что треугольник ABC является наибольшим. Следовательно, на отрезке AB должен быть хотя бы один синий хамелеон.

Аналогично доказывается, что на отрезках BC и AC должны лежать хотя бы по одному синему хамелеону. Таким образом, на сторонах треугольника ABC будет лежать не более двух красных хамелеонов, что и требовалось доказать.