Докажите, что если a+b≥6 то a²+b²≥18

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом противоположного предположения.

Предположим, что a² + b² < 18.

Так как квадрат любого числа больше или равен нулю, то мы можем записать следующее:

a² + b² < 1
a² + b² - 2ab < 18 - 2a
(a - b)² < 18 - 2ab

Используем предположение из условия задачи: a + b ≥ 6

a² + b² ≥ 1
a + b ≥ 6

Преобразуем последнее неравенство: a + b - 2ab ≥ 6 - 2ab

Из последних двух неравенств:

(a - b)² < a + b - 2a
(a - b)² < 6 - 2ab

Теперь возьмем второе вариант предположения: a + b ≥ 6

Подставим это в неравенство (a - b)² < 6 - 2ab:

(a - b)² < a + b - 2a
(a - b)² < 6 - 2ab

Так как (a - b)² - это выражение которое всегда больше или равно 0, то рассматриваемые неравенства не могут быть выполнены одновременно.

Таким образом, мы пришли к противоречию, что доказывает исходное утверждение: если a + b ≥ 6, то a² + b² ≥ 18.