Найдите наименьшее значение функции на отрезке Здравствуйте!
Нужно выполнить задание. Очень нужна Ваша помощь!
Найдите наименьшее значение функции y = (x + 6)^2 * (x + 3) + 11 на отрезке [–5; 5].
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно найти ее минимум. Для этого найдем производную функции y = (x + 6)^2 * (x + 3) + 11 и приравняем ее к нулю:

y' = 2(x + 6)(x + 3) + 2(x + 6)^2 = 2(x^2 + 9x + 18 + x^2 + 12x + 36) = 4x^2 + 42x + 54

Теперь найдем точки экстремума, решив уравнение y' = 0:

4x^2 + 42x + 54 = 0
x^2 + 10.5x + 13.5 = 0
D = 10.5^2 - 4113.5 = 110.25 - 54 = 56.25

x1,2 = (-10.5 ± sqrt(56.25))/2 = (-10.5 ± 7.5)/2
x1 = -9, x2 = -1.5

Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка:

y(-5) = (1)^2 (-2) + 11 = -2 + 11 = 9
y(-1.5) = (4.5)^2 (1.5) + 11 = 20.25 1.5 + 11 = 41.625 + 11 = 52.625
y(-9) = (-3)^2 (-6) + 11 = 9 (-6) + 11 = -54 + 11 = -43
y(-5) = (-1)^2 (2) + 11 = 2 + 11 = 13

Таким образом, наименьшее значение функции y = (x + 6)^2 * (x + 3) + 11 на отрезке [-5; 5] равно 9, которое достигается при x = -5.