Sin x – cos x = √2 Здравствуйте!
Помогите найти решение уравнения sin x – cos x = √2.
Распишите как можно подробнее, пожалуйста!
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение можно решить несколькими способами.

Один из путей решения - переписать уравнение в виде sin x = cos x + √2 и затем возвести обе части уравнения в квадрат:

(sin x)^2 = (cos x + √2)^2
sin^2 x = cos^2 x + 2√2 cos x + 2

Используем тождество sin^2 x + cos^2 x = 1:

1 - cos^2 x = cos^2 x + 2√2 cos x + 2
2 cos^2 x + 2√2 cos x + 1 = 0

Теперь проведем замену переменной: t = cos x, тогда уравнение примет вид:

2t^2 + 2√2t + 1 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен D = (2√2)^2 - 421 = 8 - 8 = 0. Это значит, что уравнение имеет один корень. Решая уравнение, получим:

t = -√2

Теперь найдем sin x:

sin x = ± √(1 - cos^2 x) = ± √(1 - (-√2)^2) = ± √(1 - 2) = ± √(-1) = ± i

Таким образом, уравнение sin x - cos x = √2 не имеет реальных корней, но имеет два комплексных корня: x = π/4 + πn + i π/2 и x = 5π/4 + πn + i π/2, где n - целое число.