Две окружности касаются внутренним образом Здравствуйте!
Объясните, как решить задачу:
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность также касается обеих окружностей и их линии центров.
Доказать, что периметр треугольника, вершинами которого являются центры всех трех окружностей, равен длине диаметра самой большой из трех окружностей.
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством касательных и хорд.

Пусть радиусы окружностей равны r1, r2 и r3, а длины прямых, соединяющих центры окружностей, равны d1, d2 и d3 соответственно.

Из условия задачи мы знаем, что длина хорды, соединяющей центры первой и второй окружностей, равна r1 + r2, а длина хорды, соединяющей центры первой и третьей окружностей, равна r1 + r3. Также известно, что хорда, соединяющая центры второй и третьей окружностей, равна r2 + r3.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный центрами всех трех окружностей. Мы видим, что этот треугольник разбит на три маленьких треугольника хордами, которые являются равными сторонами треугольника, а длины прямых являются высотами этих треугольников.

Таким образом, периметр треугольника, образованного центрами всех трех окружностей, равен сумме хорд, соединяющих центры окружностей, то есть (r1 + r2) + (r1 + r3) + (r2 + r3) = 2(r1 + r2 + r3).

С другой стороны, диаметр самой большой окружности равен двукратному радиусу этой окружности, то есть 2r3.

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника, образованного центрами всех трех окружностей, равен длине диаметра самой большой из трех окружностей.