Медиана равна половине гипотенузы Здравствуйте!
Нужно доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, к которой проведена.
Спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения обозначим стороны прямоугольного треугольника как a, b и c, где c - гипотенуза, а медиану проведем к гипотенузе и обозначим ее как m.

По теореме Пифагора, имеем:
c² = a² + b²

По определению медианы, у нас имеем два треугольника, каждый из которых равенотсторонний:
1) треугольник со стороной a, медианой m и половиной гипотенузы x;
2) треугольник со стороной b, медианой m и половиной гипотенузы y.

Из равенства треугольников следует:
m² = x² + a² / 4
m² = y² + b² / 4

Сложим два уравнения:
2m² = a² / 4 + b² / 4
2m² = c² / 4

Таким образом, получаем:
m = c / 2

Таким образом, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.