Здравствуйте, требуется помощь с неравенством 0,6^2x-3/5x-1≥06^2x-1/5x+4. Хочется понять, как решать подобные неравенства. Я понимаю, что основание 0,6 < 1, поэтому знак меняем в другую сторону, а дальше, при решении неравенства уже путаюсь и ничего не выходит. Надеюсь, что кто-то сможет подробно объяснить. Необходимо найти количество интервалов, наименьшее целое положительное решение неравенства и сумму всех чисел, которые не вошли в ответ. Заранее спасибо огромное за ответ :)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Прежде чем начать решать неравенство, давайте приведем его к более удобному виду.

Имеем: 0.6^(2x-3)/(5x-1) ≥ 0.6^(2x-1)/(5x+4)

Так как основание 0.6 меньше 1, то переносим неравенство в другую сторону, меняем знак и получаем:

0.6^(2x-3)/(5x-1) - 0.6^(2x-1)/(5x+4) ≤ 0

Теперь приведем обе части неравенства к общему знаменателю:

(0.6^(2x-3)(5x+4) - 0.6^(2x-1)(5x-1))/(5x-1)(5x+4) ≤ 0

Далее, сгруппируем выражение в числителе и получим:

0.6^(2x-1) * (0.6^2 - 1)/(5x-1)(5x+4) ≤ 0

Теперь перепишем выражение в числителе в виде (0.6^2 - 1) = (0.36 - 1) = -0.64:

-0.64 * 0.6^(2x-1)/(5x-1)(5x+4) ≤ 0

У нас получилось неравенство вида c * f(x) / g(x) ≤ 0, где c = -0.64, f(x) = 0.6^(2x-1), g(x) = (5x-1)(5x+4).

Теперь рассмотрим знаки функций c, f(x) и g(x):

1) c = -0.64 <
2) f(x) = 0.6^(2x-1) - это экспоненциальная функция, всегда положительная при любых значениях x
3) g(x) = (5x-1)(5x+4) - квадратное уравнение, дискриминант которого D = 5^2 - 454 = 25 - 80 = -55, т.е. уравнение не имеет действительных корней, поэтому g(x) > 0 для всех x.

Исходя из этого, неравенство будет верным только тогда, когда периодические функции находятся в противоположных значениях. То есть, если f(x) меняет знак отрицательный, а g(x) положительный или наоборот. Значит, мы должны найти точки, в которых f(x) = 0.

0.6^(2x-1) =
2x-1 =
2x =
x = 1/2

Таким образом, у нас есть одна точка, в которой f(x) = 0, а именно x = 1/2.

Теперь мы можем построить знаки на прямой и найти интервалы, в которых неравенство выполняется и не выполняется. Проверяем знаки на интервалах: (-∞, 1/2), (1/2, +∞).

Когда x < 1/2, f(x) < 0, g(x) > 0, их произведение отрицательно, значит, неравенство не выполняется.

Когда x > 1/2, f(x) > 0, g(x) > 0, их произведение положительно, значит, неравенство выполняется.

Ответ: неравенство выполняется на интервале (1/2, +∞), количество интервалов - 1, наименьшее целое положительное решение - x = 1/2, сумма всех чисел, не вошедших в ответ - ∅ (пустое множество).