Решите неравенство [tex]5 \times {9}^{x} + 2 \times {15}^{x} - 3 \times {25}^{x} \geqslant 0[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное неравенство.

[5 \times {9}^{x} + 2 \times {15}^{x} - 3 \times {25}^{x} \geqslant 0]

Можно записать в виде:

[5 \times {3}^{2x} + 2 \times {3}^{2x} \times {5}^{x} - 3 \times {5}^{2x} \geqslant 0]

Теперь заменим все степени числа 3 и 5 на просто переменные:

Пусть [tex]a = 3^{x}[/tex], а [tex]b = 5^{x}[/tex]

Тогда наше неравенство примет вид:

[5a^2 + 2ab - 3b^2 \geqslant 0]

Теперь найдем корни квадратного уравнения вида [tex]5a^2 + 2ab - 3b^2 = 0[/tex]:

[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]

[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(2b)^2 - 4 \cdot 5 \cdot -3b^2}}{2 \cdot 5}]

[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{4b^2 + 60b^2}}{10}]

[a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{64b^2}}{10}]

[a_{1,2} = \frac{-b \pm 8b}{10}]

[a_1 = \frac{7b}{10}]
[a_2 = -\frac{1}{2}b]

Исследуем знаки в каждом интервале для a и b.

1) [tex]a < 0, b < 0[/tex]. В этом случае неравенство 5a^2 + 2ab - 3b^2 > 0, так как 5a^2 и -3b^2 будут положительными, а 2ab будет отрицательным

2) [tex]a > 0, b < 0[/tex]. В этом случае 5a^2 > 0, 2ab < 0, -3b^2 > 0. Исходя из этого, неравенство также будет выполнено

3) [tex]a < 0, b > 0[/tex]. В данном случае 5a^2 > 0, 2ab < 0, -3b^2 > 0, поэтому неравенство будет верно

4) [tex]a > 0, b > 0[/tex]. В этом случае значение 5a^2, 2ab и -3b^2 будут положительными, следовательно, неравенство будет выполнено

Таким образом, неравенство [tex]5a^2 + 2ab - 3b^2 \geqslant 0[/tex] верно для всех действительных чисел a и b.

Ответ: [tex]3^{x} \cdot 5^{x} \neq 0[/tex], то есть [tex]x \neq 0[/tex].