Найдите значение параметра а при котором разность корней уравнения 2х^2 - (a+1)x + a - 1=0 равна их произведению

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни данного уравнения.

2х^2 - (a+1)x + a - 1 = 0

Дискриминант D = (a+1)^2 - 4 2 (a-1)
D = a^2 + 2a + 1 - 8a + 8
D = a^2 - 6a + 9

Теперь найдем корни уравнения:

x1,2 = (a + 1 ± √D) / 4

x1 = (a + 1 + √(a^2 - 6a + 9)) / 4
x2 = (a + 1 - √(a^2 - 6a + 9)) / 4

Разность корней: x1 - x2 = (a + 1 + √(a^2 - 6a + 9)) / 4 - (a + 1 - √(a^2 - 6a + 9)) / 4
x1 - x2 = 2√(a^2 - 6a + 9) / 4
x1 - x2 = √(a^2 - 6a + 9) / 2

Произведение корней: x1 x2 = ((a + 1 + √(a^2 - 6a + 9)) / 4)((a + 1 - √(a^2 - 6a + 9)) / 4)
x1 x2 = (a^2 - 6a + 9) / 16

Теперь нам нужно найти значение параметра a, при котором разность корней равна произведению:

√(a^2 - 6a + 9) / 2 = (a^2 - 6a + 9) / 16

Умножим обе части на 16:

8√(a^2 - 6a + 9) = a^2 - 6a + 9
64(a^2 - 6a + 9) = (a^2 - 6a + 9)^2
64a^2 - 384a + 576 = a^4 - 12a^3 + 45a^2 - 12a - 54 + 81
0 = a^4 - 12a^3 + 45a^2 - 12a - 54 + 81 - 64a^2 + 384a - 576
0 = a^4 - 12a^3 + 109a^2 + 372a - 549

Попробуем разложить это уравнение на множители:

(a - 3)(a - 1)(a + 1)(a + 183) = 0

a = 3, a = 1, a = -1 или a = -183

Таким образом, значение параметра а, при котором разность корней уравнения равна их произведению, равно 3, 1, -1 или -183.