Числа a, b, c попарно различные действительные числа, удовлетворяющие равенствам 2a+3/b=2b+3/c=2c+3/a. Найдите значение произведения abc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия, имеем систему уравнений:
[
\begin{cases}
2a + \frac{3}{b} = 2b + \frac{3}{c}\
2b + \frac{3}{c} = 2c + \frac{3}{a}\
2c + \frac{3}{a} = 2a + \frac{3}{b}
\end{cases}
]

Выразим a, b и c из первого уравнения. Умножим все уравнения на (a \cdot b \cdot c), тогда получаем:
[
\begin{cases}
2abc \cdot a + 3ac = 2abc \cdot b + 3ab\
2abc \cdot b + 3ab = 2abc \cdot c + 3bc\
2abc \cdot c + 3bc = 2abc \cdot a + 3ac
\end{cases}
]

Преобразуем систему уравнений:
[
\begin{cases}
2a^2bc - 2ab^2c = 3ac - 3bc\
2ab^2c - 2abc^2 = 3ab - 3ac\
2abc^2 - 2a^2bc = 3bc - 3ac
\end{cases}
]

[
\begin{cases}
2a(a-b)bc = 3c(a-b)\
2b(b-c)ac = 3a(b-c)\
2c(c-a)ab = 3b(c-a)
\end{cases}
]

[
\begin{cases}
2a = 3c\
2b = 3a\
2c = 3b
\end{cases}
]

Из этих уравнений получаем, что (a=\frac{9}{4}, b=\frac{27}{8}, c=\frac{81}{16}).

Тогда произведение (abc = \frac{9}{4} \cdot \frac{27}{8} \cdot \frac{81}{16} = \frac{3^2}{2^2} \cdot \frac{3^3}{2^3} \cdot \frac{3^4}{2^4} = \frac{3^{2+3+4}}{2^{2+3+4}} = \frac{3^9}{2^9} = \left(\frac{3}{2}\right)^9 = \frac{19683}{512})