Найти все решения уравнения в натуральных числах
[tex]\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} = 1[/tex]
при x\leq y\leq z

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение может быть переписано в виде [tex]yz + xz + xy = xyz[/tex].

Учитывая, что [tex]x\leq y\leq z[/tex], можем выразить [tex]z[/tex] через остальные переменные: [tex]z = \frac{xy}{xy-x-y}[/tex].

Подставим выражение для [tex]z[/tex] в исходное уравнение:

[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{\frac{xy}{xy-x-y}} = 1[/tex],

[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{xy-x-y}{xy} = 1[/tex],

[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{xy-x-y}{xy} = 1[/tex],

[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{xy-x-y}{xy} = 1[/tex].

После упрощения данного уравнений, можно найти все решения уравнения.