Решите уравнение 2 sin^2⁡x-2 sin⁡2x+1=0.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π;3π/2].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение уравнения 2sin^2(x) - 2sin(2x) + 1 = 0:

Представим sin(2x) через sin(x):
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x) в уравнении:
2sin^2(x) - 2(2sin(x)cos(x)) + 1 = 0
2sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + 1 = 0

Преобразуем уравнение, используя формулу косинуса двойного угла (cos(2x) = 2cos^2(x) - 1):
2sin^2(x) - 4sin(x)(√(1-sin^2(x))) + 1 = 0
2sin^2(x) - 4sin(x)√(1-sin^2(x)) + 1 = 0

Проведем замену: y = sin(x)
2y^2 - 4y√(1-y^2) + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно y, найдем корни y и затем вернемся к x.

Для нахождения корней y используем дискриминант:
D = (-4)^2 - 421 = 16 - 8 = 8

Найдем два корня для уравнения:
y1 = (4 + √8) / 4 = (4 + 2√2) / 4 = 1 + √2 / 2
y2 = (4 - √8) / 4 = (4 - 2√2) / 4 = 1 - √2 / 2

Теперь найдем x из y:
y1 = sin(x) => sin(x) = 1 + √2 / 2
x1 = arcsin(1 + √2/2)

y2 = sin(x) => sin(x) = 1 - √2 / 2
x2 = arcsin(1 - √2/2)

Таким образом, корни уравнения 2sin^2(x) - 2sin(2x) + 1 = 0 на отрезке [π; 3π/2]:
x1 = arcsin(1 + √2/2)
x2 = arcsin(1 - √2/2)