Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Точки K и L— центры граней BB1C1C и A1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что точка пересечения прямой KL с плоскостью основания ABCD равноудалена от вершин B и C.
б) Пусть M— середина ребра CD. Найдите котангенс угла между прямыми MD1 и KL, если известно, что AB=2AA1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Так как точка K является центром грани BB1C1C, то она равноудалена от вершин B и C. Точно так же, так как точка L является центром грани A1B1C1D1, то она также равноудалена от вершин B1 и C1. Но по условию AB=2AA1, следовательно, точка L также будет равноудалена от вершин B и C.

б) Поскольку M— середина ребра CD, то отрезок MD1 будет являться медианой треугольника BCD1, а KL— медианой треугольника BB1C1C. Таким образом, угол между MD1 и KL будет равен "углу биссектрисы" данного треугольника, то есть котангенс этого угла будет равен отношению суммы сторон треугольника BCD1 к разности этих сторон.
Так как AB=2AA1, то сторона BC будет равна 2B1C1, а сторона CD равна 2AA1. Тогда
котангенс угла между прямыми MD1 и KL равен:

cotg α = (BCD1 + DC)/( BC - CD ) = (2B1C1 + 2AA1)/(2B1C1 - 2AA1) = (2 + 2)/(2 - 2) = 4

Ответ: cotg α = 4.