Докажите, что если a, b, c, d - положительные числа, то [tex]\frac{a+c}{2} +\frac{b+d}{2}\geq \sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данное неравенство эквивалентно следующему:

tex(b+d)\geq 2\sqrt{(a+b)(c+d)}\cdot2\sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]

Или

tex(b+d)\geq 4(a+b)(c+d)[/tex]

Рассмотрим левую часть последнего неравенства:

tex(b+d)=ab+ad+bc+cd[/tex]

А правую часть:

[tex]4(a+b)(c+d)=4(ac+ad+bc+bd)[/tex]

Таким образом, нам нужно доказать, что:

[tex]ab+ad+bc+cd\geq 4ac+4ad+4bc+4bd[/tex]

Разделим обе части на 2:

[tex]\frac{ab+ad+bc+cd}{2}\geq 2ac+2ad+2bc+2bd[/tex]

Получаем:

tex(b+d)\geq 4(a+b)(c+d)[/tex]

Что и требовалось доказать.