Решите уравнения в целых числах
(^-возведение в степень)
1)x^2+y^2=4z-1
2)x^3+21y^2+5=0
3)x^2-7y=10

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Уравнение x^2 + y^2 = 4z - 1 можно рассмотреть по модулю 4. При вычислении квадрата числа остаток по модулю 4 может быть только 0 или 1.
Слева в уравнении x^2 + y^2 = 4z - 1 по модулю 4 остается либо 0 (если оба слагаемых четные), либо 1 (если оба слагаемых нечетные). Однако, справа остаток по модулю 4 всегда равен -1. Значит, такого целочисленного решения уравнение x^2 + y^2 = 4z - 1 не имеет.

2) Уравнение x^3 + 21y^2 + 5 = 0. Так как x^3 — куб числа, уравнение может иметь решения для всех x (т.е. отрицательных, нулевого и положительного). Заметим, что y^2 — всегда неотрицательное число, так как является квадратом. 21y^2 — всегда неотрицательное число, прибавление 5 не изменит этот показатель. Значит, x^3 + 21y^2 + 5 — всегда положительное число. Т.е. такого целочисленного решения уравнение x^3 + 21y^2 + 5 = 0 не имеет.

3) Уравнение x^2 — 7y = 10. Подставим различные значения y: y=0, y=1, y=2 и так далее. При y=1 возможны значения x=-3 и x=3. При y=2 нет целочисленных значений x. Поэтому уравнение x^2 — 7y = 10 имеет решения: (3, 1) и (-3, 1).