Точка M- середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть точки A, B, C, D имеют координаты (0,0,0), (1,0,0), (cos(π/3),sin(π/3),0), (cos(π/3)/2,sin(π/3)/2,√2/2) соответственно. Тогда координаты точки M, являющейся серединой ребра AB, равны ((1+cos(π/3))/2,sin(π/3)/2,0).

Проекция точки M на плоскость ACD будет лежать на линии, соединяющей точку M с центром грани ACD. Так как точка P, являющаяся центром грани ACD, имеет координаты (cos(π/3)/3,sin(π/3)/3,√2/6), то вектор MP равен ((1+cos(π/3))/2-cos(π/3)/3,sin(π/3)/2-sin(π/3)/3,-√2/6).

Для того чтобы доказать, что проекция точки M лежит на медиане AP, нужно показать, что вектор MP коллинеарен вектору AP. Возьмем вектор AP, который равен (cos(π/3)/3,sin(π/3)/3,√2/6), и найдем их скалярное произведение:

((1+cos(π/3))/2-cos(π/3)/3)cos(π/3)/3 + (sin(π/3)/2-sin(π/3)/3)sin(π/3)/3 + (-√2/6)(√2/6) =
= (cos(π/3)+1)(cos(π/3)/6) + (sin(π/3)+1)*(sin(π/3)/6) - 2/9 =
= cos^2(π/3)/6 + cos(π/3)/6 + sin^2(π/3)/6 + sin(π/3)/6 - 2/9 =
= 1/6 + (1+√3)/6 - 2/9 = 1/6 + 1/2 - 2/9 = 3/6 = 1/2.

Таким образом, скалярное произведение векторов MP и AP равно 1/2, что говорит о том, что векторы коллинеарны, а значит проекция точки M лежит на медиане AP.

б) Найдем угол между прямой DM и плоскостью ACD. Угол между прямой и плоскостью равен углу между вектором, параллельным прямой, и нормальным вектором плоскости.

Нормальный вектор плоскости ACD равен (cos(π/3),sin(π/3),0).

Прямая DM задается вектором (cos(π/3)/2,sin(π/3)/2,√2/2)-(0,0,0) = (cos(π/3)/2,sin(π/3)/2,√2/2).

Найдем угол между этими двумя векторами:

cos(α) = (cos(π/3)/2 cos(π/3) + sin(π/3)/2 sin(π/3) + 0) / (sqrt((cos^2(π/3) + sin^2(π/3) + 0) * (cos^2(π/3)/4 + sin^2(π/3)/4 + √2/4)) =
= (cos^2(π/3)/2 + sin^2(π/3)/2) / (sqrt((1+√2)/4)) = 1/2 / sqrt((1+√2)/4) = sqrt(2)/(1+√2).

Таким образом, угол между прямой DM и плоскостью ACD равен arccos(sqrt(2)/(1+√2)).