Известно что числа n+23 и n - 66 является полными квадратами. Найдите число n.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть n + 23 = k^2 и n - 66 = m^2, где k и m - целые числа.

Тогда k^2 - m^2 = (k + m)(k - m) = (n + 23) - (n - 66) = 89

89 - простое число, поэтому разложение может быть только на 1 и 89. Так как сумма и разность k и m одновременно являются неотрицательными целыми числами, то единственные возможности - (k + m) = 89 и (k - m) = 1.

Решаем систему уравнений:
k + m = 89
k - m = 1

Из этой системы находим k = 45 и m = 44.

Подставляем k и m в уравнения:
n + 23 = 45^2
n - 66 = 44^2

n = 45^2 - 23 = 2027

Ответ: n = 2027.