Вариант 4 даны точки А(0;4) В(4;2) С(2;-2) Д(-2;0) 1. а)Найдите координаты и длину вектора а=АВ+3АД-0,5СА б)Разложите вектор а по координатным векторам i и j 2. a) Запишите ур-е с диаметром АВ. б) Выясните взаимное расположение окружности и точек С и Д. 3. Запиши ур-е прямой 4. Докажите что АВСД - квадр

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Вектор AB: (4-0; 2-4) = (4; -2)
Вектор AD: (-2-0; 0-4) = (-2; -4)
Вектор AC: (2-0; -2-4) = (2; -6)

а = AB + 3AD - 0.5CA
а = (4; -2) + 3(-2; -4) - 0.5(2; -6)
а = (4; -2) + (-6; -12) - (1; -3)
а = (4-6-1; -2-12+3)
а = (-3; -11)
Длина вектора а: √((-3)^2 + (-11)^2) = √(9 + 121) = √130

б) Разложим вектор а по координатным векторам i и j:
а = -3i - 11j

а) Уравнение с диаметром AB:
Середина диаметра: ((0+4)/2; (4+2)/2) = (2; 3)
Уравнение прямой, проходящей через точки A и B: y = -x + 4

б) Определим положение точек C и D относительно окружности с диаметром AB:
Точка C: AC^2 = (2-0)^2 + (-2-4)^2 = 20, что меньше чем радиус квадрата равного половине диаметра окружности (5^2 = 25), следовательно, точка C лежит внутри окружности.
Точка D: AD^2 = (-2-0)^2 + (0-4)^2 = 20, что также меньше чем радиус квадрата окружности, поэтому точка D тоже лежит внутри окружности.

Уравнение прямой:

Докажем, что ABCD - квадрат:

Для этого проверим, выполнены ли условия квадрата:

Стороны AB, BC, CD, DA равны: AB = BC = CD = DA
AB = √((4-0)^2 + (2-4)^2) = √20
BC = √((2-4)^2 + (-2-2)^2) = √20
CD = √((-2-2)^2 + (0+2)^2) = √20
DA = √((0+2)^2 + (4-2)^2) = √20Углы между сторонами равны 90 градусов: ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90 градусов

Таким образом, ABCD - квадрат.