Докажите, что для любых натуральных чисел a и b уравнение x ^ 2-xy-y ^ 2 = a ^ 2 + ab-b ^ 2
имеет бескочненое количество решений в натуральных числах x и y

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что данное уравнение может быть записано в виде:

(x-y)^2 - xy = a^2 + ab - b^2.

Рассмотрим выражение на левой стороне уравненяя, (x-y)^2 - xy. Это чисто может быть преобразовано следующим образом:

(x-y)^2 - xy = x^2 - 2xy + y^2 - xy = x^2 - xy - y^2 = (x + y)(x - y) - xy.

Таким образом, уравнение примет следующий вид:

(x + y)(x - y) - xy = a^2 + ab - b^2.

Теперь воспользуемся методом подстановки. Пусть x = b + n и y = b - n, где n - некоторое натуральное число. Подставляем эти значения в уравнение:

((b + n) + (b - n))((b + n) - (b - n)) - (b + n)(b - n) = a^2 + ab - b^2.

Упрощаем и получаем:

4bn - n^2 = a^2 + ab - b^2.

Таким образом, мы получили новое уравнение, которое должно иметь множество решений в натуральных числах, так как n может принимать любые натуральные значения.

Следовательно, исходное уравнение x ^ 2-xy-y ^ 2 = a ^ 2 + ab-b ^ 2 также будет иметь бесконечное количество решений в натуральных числах x и y.