Для исследования сходимости ряда (E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}) воспользуемся признаком д’Аламбера.
Пусть (an = \frac{n}{4^n}). Вычислим отношение соседних членов ряда:[ \frac{a{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/4^{n+1}}{n/4^n} = \frac{n+1}{4n} = \frac{n}{4n} + \frac{1}{4n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4n}. ]
Теперь вычислим предел отношения:[ \lim{n\to\infty} \frac{a{n+1}}{an} = \lim{n\to\infty} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4n}\right) = \frac{1}{4}. ]
Так как предел отношения соседних членов ряда меньше 1, ряд сходится по признаку д’Аламбера.
Таким образом, ряд (E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}) сходится.
Для исследования сходимости ряда (E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}) воспользуемся признаком д’Аламбера.
Пусть (an = \frac{n}{4^n}). Вычислим отношение соседних членов ряда:
[ \frac{a{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)/4^{n+1}}{n/4^n} = \frac{n+1}{4n} = \frac{n}{4n} + \frac{1}{4n} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4n}. ]
Теперь вычислим предел отношения:
[ \lim{n\to\infty} \frac{a{n+1}}{an} = \lim{n\to\infty} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4n}\right) = \frac{1}{4}. ]
Так как предел отношения соседних членов ряда меньше 1, ряд сходится по признаку д’Аламбера.
Таким образом, ряд (E = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{4^n}) сходится.