Остаток от деления многочлена f (x) на x + 1 равен 1, а от деления на x-1 равен 2. Найдите сумму коэффициентов многочлена f (x).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть многочлен f(x) = (x + 1)q(x) + 1, где q(x) - частное от деления. Тогда f(-1) = 1.

Аналогично, пусть многочлен f(x) = (x - 1)p(x) + 2, где p(x) - частное от деления. Тогда f(1) = 2.

f(-1) = 1 => (-1 + 1)q(-1) + 1 = 1 => q(-1) = 1
f(1) = 2 => (1 - 1)p(1) + 2 = 2 => p(1) = 0

Так как p(1) = 0, то (x - 1) является корнем многочлена f(x).
Тогда f(x) = (x - 1)(x + 1)q(x) + 2
f(x) = (x^2 - 1)q(x) + 2
Так как f(x) имеет степень не выше 1 (так как деление на x - 1 и x + 1 даёт остатки), то q(x) - константа.
Пусть q(x) = a, тогда
f(x) = a(x^2 - 1) + 2
f(x) = ax^2 - a + 2

Сумма коэффициентов многочлена f(x) равна a + (-a) + 2 = 2.

Ответ: 2.