Через точку B проведены четыре прямые AB,BD,BE,BC так, что AB⊥BD,BE⊥DC, прямая AC пересекает прямую BD в точке D, прямую BE в точке E, AB=BC. Сумма площадей треугольников ABE и BCD равна 2018. Чему равна площадь треугольника ABE?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину отрезков AB и BC как а, тогда AB = BC = а. Обозначим длину отрезков BE и BD как b и c соответственно.

Так как AB⊥BD и AB = BC, то треугольник ABD – прямоугольный и равнобедренный со сторонами а, а, c. Значит, площадь треугольника ABD равна S1 = (1/2) а c.

Треугольник ABE – также прямоугольный и равнобедренный, со сторонами а, b, b. Площадь треугольника ABE равна S2 = (1/2) а b.

Из условия задачи сумма площадей треугольников ABE и BCD равна 2018:

S1 + S2 = (1/2) а c + (1/2) а b = 2018.

Так как AB = BC = а, мы можем выразить b через а:

b = √(с² - а²).

Подставляем это выражение для b в уравнение и получаем:

(1/2) а c + (1/2) а (sqrt(c² - а²)) = 2018.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

а c + а sqrt(c² - а²) = 4036.

Выносим а за скобку:

а * (c + sqrt(c² - а²)) = 4036.

Теперь хорошо видно, что площадь треугольника ABE равна половине левой части уравнения:

S2 = (1/2) а (c + sqrt(c² - а²)).

Таким образом, чтобы найти площадь треугольника ABE, необходимо найти значения а и c, удовлетворяющие уравнению для площадей треугольников ABE и BCD равных 2018.