Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=4·x²; y=x²/9; y=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, необходимо найти точки их пересечения.

4·x² = x²/9
36·x² = x²
35·x² = 0

Отсюда x=0

Подставляем x=0 в обе функции, чтобы найти y:

y = 4·0² = 0
y = 0²/9 = 0

Таким образом, точка пересечения двух функций (0, 0).

4·x² = 2
x² = 2/4
x² = 1/2
x = ±√(1/2)

Подставляем x=±√(1/2) в функцию y=4·x², чтобы найти y:

y = 4·(√(1/2))² = 4·1/2 = 2
y = 4·(-√(1/2))² = 4·1/2 = 2

Таким образом, точки пересечения двух функций (√(1/2), 2) и (-√(1/2), 2).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций. Поскольку графики данных функций ограничивают фигуру в области между двумя параболами и горизонтальной прямой, то площадь этой фигуры можно найти как разность между интегралом верхней функции и интегралом нижней функции на отрезке между точками пересечения:

S = ∫(4·x² - x²/9)dx, от -√(1/2) до √(1/2)
S = ∫(35/9·x²)dx, от -√(1/2) до √(1/2)
S = 35/9[x³/3]√(1/2) - 35/9x³/3 S = 35/9[1/3(1/2)√(1/2) - 1/3(1/2)(-√(1/2))]
S = 35/9[1/6√(1/2) + 1/6√(1/2)]
S = 35/9 √(1/2)/3
S = 35/27 √(1/2)

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций, равна 35/27 * √(1/2).