Доказать что m^5-mn^5 делится на 6 при любом значении любых натуральных чисел m и n. m больше n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение при помощи метода математической индукции.

База индукции:
При m = 1 и n = 1 получаем значение выражения 1^5 - 1*1^5 = 0, что делится на 6.

Предположение индукции:
Пусть для всех натуральных чисел m и n, таких что m > n, выражение m^5 - mn^5 делится на 6.

Шаг индукции:
Для m + 1 и n + 1:
(m + 1)^5 - (m + 1)(n + 1)^5 = m^5 + 5m^4 + 10m^3 + 10m^2 + 5m + 1 - (m + 1)(n^5 + 5n^4 + 10n^3 + 10n^2 + 5n + 1)
m^5 + 5m^4 + 10m^3 + 10m^2 + 5m + 1 - mn^5 - 5n^5 - 10n^4 - 10n^3 - 5n - n = m^5 - mn^5 + 5m^4 - 5n^4 + 10m^3 - 10n^3 + 10m^2 - 10n^2 + 5m - 5n

Заметим, что все члены в полученном выражении делятся на 6 при делении на 6. Таким образом, выражение делится на 6.

Таким образом, утверждение доказано для всех натуральных чисел m и n, таких что m > n.