На столе стоят песочные часы высоты 16 см, представляющие собой два соединенных усеченных одинаковых конуса. Радиус горлышка (отверстия, через которое сыпется песок) равен 1 см. Тангенс угла раствора конусов равен 4/3. Чему равен объем песочных часов в см3? Ответ округлите до ближайшего целого.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Объем усеченного конуса можно найти по формуле:

V = 1/3 π h (R1^2 + R2^2 + R1 R2),

где h - высота конуса, R1 и R2 - радиусы оснований.

Так как у нас два одинаковых усеченных конуса, то общий объем песочных часов будет равен удвоенному объему одного конуса.

Для начала найдем радиусы оснований R1 и R2.

Положим R1 = r, R2 = r + 1.

Зная, что тангенс угла раствора конусов равен 4/3, можем записать соотношение:

h / (R1 - R2) = 4/3,

16 / 1 = 4/3,

48 = 4(R1 - R2),

12 = R1 - R2,

12 = r - (r + 1),

12 = r - r - 1,
12 = -1.

Решение не имеет физического смысла, делаем вывод, что наше предположение о радиусах представляет собой ошибку. Попробуем другие значения для R1 и R2.

Положим R1 = 2r, R2 = 2r + 2 и заменим их в уравнении тангенса:

16 / 2 = 4/3,

48 = 8(R1 - R2),

6 = R1 - R2,

6 = 2r - (2r + 2),
6 = 2r - 2r - 2,
6 = -2.

Получается, что наше предположение опять ошибочно, поэтому примем R1 = 2, R2 = 3.

Теперь можем вычислить объем одного конуса:

V = 1/3 π 16 (2^2 + 3^2 + 2 3) = 1/3 π 16 (4 + 9 + 6)
V = 1/3 π 16 19 = 1/3 16 19 * π ≈ 201 см³.

Общий объем песочных часов равен 2 * 201 = 402 см³. Округляя до ближайшего целого, получаем ответ: 402 см³.