Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Площадь боковой поверхности призы равна 288.найдите высоту цилиндра

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней. Так как призма правильная, то все ее боковые грани являются равнобедренными трапециями.

Для нахождения высоты цилиндра, вокруг которого описана призма, обратимся к представлению призмы в виде составленной плоскости (см. рисунок). Тогда диагонали трапеций будут равны высоте цилиндра.

Получаем, что по теореме Пифагора радиус квадрата основания призмы равен:

(3^{2}+h^{2}=r^{2}+h^{2},)

где (h) - высота цилиндра, (r) - радиус цилиндра.

Так как площадь боковой поверхности призмы равна 288, а площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней, а также равна произведению периметра основания на диагональ:

(P_{осн}h=4s).

Рассмотрим одну из трапеций призмы, где (s) - площадь трапеции, (P_{осн}) - периметр основания призмы (4r):

(s=\frac{1}{2}d\cdot\frac{P_{осн}}{2}=\frac{1}{2}(r^{2}+h^{2})\cdot\frac{4r}{2}=2r\sqrt{\frac{r^{2}+h^{2}}{2}}).

Таким образом, с учетом заданных данных, у нас 3 неизвестных переменных (r, h, d), 2 уравнения. Найдем высоту цилиндра используя крайнее представление призмы в виде составленной плоскости. Подставляя известные значения s = 288, P_(осн)=4r = 6d и найдем h=9.