С виду правой части f (x) и корням характеристического уравнения определить вид общего решения соответствующего неоднородного дифференциального уравнения.
λ1=λ2=2, λ3=5, f(x)=3xe^(-3x).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как уравнение имеет два корня одинаковой кратности λ1=λ2=2 и один корень λ3=5, общее решение будет иметь вид:
y(x) = C1 e^(2x) + C2 x e^(2x) + C3 e^(5x) + P(x),

где P(x) - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Полное решение однородного уравнения имеет вид:
y_h(x) = C1 e^(2x) + C2 x e^(2x) + C3 e^(5x).

Частное решение для f(x) = 3x e^(-3x) можно предположить в виде:
P(x) = Ax^2 e^(-3x),

где A - константа.

Теперь подставим P(x) в неоднородное уравнение и найдем значение константы A. Для этого продифференцируем P(x) и подставим в уравнение:
P'(x) = (2Ax - 3Ax^2) e^(-3x),
P''(x) = (2A - 12Ax + 9Ax^2) e^(-3x).

Подставляем в уравнение:
P''(x) - 4P'(x) + 5P(x) = 3x e^(-3x)
(2A - 12Ax + 9Ax^2) e^(-3x) - 4(2Ax - 3Ax^2) e^(-3x) + 5Ax^2 e^(-3x) = 3x e^(-3x)
(2A - 24Ax + 18Ax^2) e^(-3x) - (8Ax - 12Ax^2) e^(-3x) + 5Ax^2 e^(-3x) = 3x e^(-3x)
(18Ax^2 - 24Ax - 6Ax^2) e^(-3x) = 3x e^(-3x)

Сравниваем коэффициенты при x и x^2:
18A - 24A = 0,
-6A = 3,
A = -1/2.

Таким образом, частное решение имеет вид:
P(x) = -1/2 x^2 e^(-3x).

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
y(x) = C1 e^(2x) + C2 x e^(2x) + C3 e^(5x) - 1/2 x^2 e^(-3x).