Дана последовательность натуральных чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 5, либо в 7 раз. Сумма всех членов последовательности равна 420.а) Может ли эта последовательность состоять из 135 членов?б) Может ли эта последовательность состоять из 4 членов?в) Найдите наименьшее возможное количество членов в этой последовательности.Замечание. Подразумевается, что данная последовательность состоит не менее чем из двух членов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Посмотрим на разность между соседними членами последовательности. Если каждый следующий член отличается от предыдущего на 5, то сумма 135 членов будет равна
(k + (k+5) + \ldots + (k+5\cdot134) = 135k + 5\cdot 1 + 5\cdot 2 + \ldots + 5 \cdot 134 = 135k + 5\cdot (1+2+\ldots+134) = 135k + 5\cdot \frac{134\cdot135}{2} = 135k + 45045.)
Если каждый следующий член отличается от предыдущего на 7 раз, то сумма 135 членов будет равна
(k + 7k + \ldots + 7\cdot 134 = 135k + 7\cdot 1 + 7\cdot 2 + \ldots + 7\cdot 134 = 135k + 7\cdot (1+2+\ldots+134) = 135k + 7\cdot \frac{134\cdot135}{2} = 135k + 66105.)
Таким образом, сумма 135 членов не может быть равна 420 в данной последовательности.

б) Посмотрим на разность между соседними членами последовательности. Единственная возможность состоит в том, что каждый следующий член отличается от предыдущего на 5. Тогда сумма 4 членов равна
(k + (k+5) + (k+10) + (k+15) = 4k + 5(1+2+3) = 4k + 30.)
Уравнение (4k + 30 = 420) не имеет натуральных решений, поэтому данная последовательность не может состоять из 4 членов.

в) Посмотрим на разность между соседними членами последовательности. Если каждый следующий член отличается от предыдущего на 5, то получаем уравнение (n = 2 + 5(n-1) = 5n - 3), откуда (n = 1.25), что не может быть количеством членов. Если каждый следующий член отличается от предыдущего на 7 раз, то получаем уравнение (n = 2 + 7(n-1) = 7n - 5), откуда (n = 2). Таким образом, наименьшее возможное количество членов в этой последовательности равно 2.