Найти предел
[tex]\lim_{x \to 1} \frac{sin(\pi*x^a)}{sin(\pi*x^b)}[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

При подстановке x=1 в числитель и знаменатель получаем 0/0. Применим правило Лопиталя:

[tex]\lim{x \to 1} \frac{sin(\pix^a)}{sin(\pix^b)} = \lim{x \to 1} \frac{\piax^{a-1}cos(\pix^a)}{\pibx^{b-1}cos(\pix^b)}[/tex]

Подставим x=1:

[tex]= \frac{\pia1^{a-1}cos(\pi1^a)}{\pib1^{b-1}cos(\pi1^b)} = \frac{a}{b}[/tex]

Таким образом,

[tex]\lim_{x \to 1} \frac{sin(\pix^a)}{sin(\pix^b)} = \frac{a}{b}[/tex]