Найдите все значения параметра a, такие, что уравнение [tex]x^2-4ax+5a=0[/tex] имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 6.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем условие, при котором уравнение имеет два действительных корня. Дискриминант уравнения должен быть больше нуля:

D = (-4a)^2 - 4*5a > 0
D = 16a^2 - 20a > 0
4a(4a - 5) > 0
a(4a - 5) > 0

Это неравенство будет выполняться, если либо оба множителя a и (4a-5) положительные, либо оба отрицательные. Рассмотрим каждый случай:

1) a > 0 и 4a - 5 > 0
a > 0 и a > 5/4
a > 5/4

2) a < 0 и 4a - 5 < 0
a < 0 и a < 5/4
a < 0

Теперь найдем условие, что сумма квадратов корней равна 6. Обозначим корни уравнения через x1 и x2:

x1 + x2 = 4a
x1*x2 = 5a

Сумма квадратов корней равна:

(x1)^2 + (x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2
(x1)^2 + (x2)^2 = (4a)^2 - 2*5a = 16a^2 - 10a

Условие, что сумма квадратов корней равна 6:

16a^2 - 10a = 6
16a^2 - 10a - 6 = 0
8a^2 - 5a - 3 = 0

Далее найдем корни этого квадратного уравнения:

D = (-5)^2 - 48(-3) = 25 + 96 = 121
a = (5 ± √121)/(2*8) = (5 ± 11)/16

a1 = (5 + 11)/16 = 16/16 = 1
a2 = (5 - 11)/16 = -6/16 = -3/4

Итак, все значения параметра a, при которых уравнение x^2 - 4ax + 5a = 0 имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 6, равны 1 и -3/4.