Найти порядок бесконечно малой функции альфа(х)=lncos5x-lncos2x относительно бета(х)=х при х следует к нулю

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения порядка бесконечно малой функции alpha(x) относительно beta(x) при x -> 0, необходимо разложить функции alpha(x) и beta(x) в ряды Тейлора до одинакового порядка и выразить alpha(x) через beta(x).

Дано:
alpha(x) = ln(cos5x) - ln(cos2x),
beta(x) = x.

Разложим alpha(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0:
alpha(x) = ln(1 - 10x^2/2 + O(x^4)) - ln(1 - 2x^2/2 + O(x^4))
= -10x^2/2 + O(x^4) + 2x^2/2 + O(x^4)
= -4x^2 + O(x^4).

Теперь выразим alpha(x) через beta(x):
alpha(x) = -4x^2 = -4(beta(x))^2.

Следовательно, порядок бесконечно малой функции alpha(x) относительно beta(x) при x -> 0 равен 2.