Для решения этого дифференциального уравнения мы воспользуемся методом интегрирующего множителя.
Уравнение можно переписать в виде:
xy'' - 9y' = x.
Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель μ(x), который определяется условием:
μ(x) = e^(∫(-9/x)dx) = e^(-9ln|x|) = e^(ln|x|^(-9)) = 1/|x|^9.
Умножаем уравнение на μ(x):
1/|x|^9 xy'' - 9/|x|^9 y' = x/|x|^9y''/|x|^8 - 9/x^9 * y' = x/|x|^9.
Теперь введем замену переменных: z = y'.
Тогда получаем систему уравнений:
z = y',z' = y''.
Исходное уравнение будет выглядеть как:
z/|x|^8 - 9/x^9 * z = x/|x|^9.
Теперь можем решить это уравнение. Для этого сначала решим однородное уравнение:
z/|x|^8 - 9/x^9 * z = 0,z(|x|^(-8) - 9/x^9) = 0,z = C/x^(-1).
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде z = az + b, подставим в уравнение:
az + b / |x|^8 - 9/x^9 * (az + b) = x/|x|^9,az(|x|^(-8) - 9/x^9) + b(|x|^(-8) - 9/x^9) = x/|x|^9.
Решив это уравнение, найдем значения a и b:
a = -1,b = -1.
Теперь найдем значение y(x) интегрированием z(x):
y(x) = ∫(z(x)dx) = ∫((-1/x)dx) = -ln|x| + C.
Таким образом, общим решением дифференциального уравнения xy''-9y'=x является:
y(x) = -ln|x| + C.
Для решения этого дифференциального уравнения мы воспользуемся методом интегрирующего множителя.
Уравнение можно переписать в виде:
xy'' - 9y' = x.
Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель μ(x), который определяется условием:
μ(x) = e^(∫(-9/x)dx) = e^(-9ln|x|) = e^(ln|x|^(-9)) = 1/|x|^9.
Умножаем уравнение на μ(x):
1/|x|^9 xy'' - 9/|x|^9 y' = x/|x|^9
y''/|x|^8 - 9/x^9 * y' = x/|x|^9.
Теперь введем замену переменных: z = y'.
Тогда получаем систему уравнений:
z = y',
z' = y''.
Исходное уравнение будет выглядеть как:
z/|x|^8 - 9/x^9 * z = x/|x|^9.
Теперь можем решить это уравнение. Для этого сначала решим однородное уравнение:
z/|x|^8 - 9/x^9 * z = 0,
z(|x|^(-8) - 9/x^9) = 0,
z = C/x^(-1).
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде z = az + b, подставим в уравнение:
az + b / |x|^8 - 9/x^9 * (az + b) = x/|x|^9,
az(|x|^(-8) - 9/x^9) + b(|x|^(-8) - 9/x^9) = x/|x|^9.
Решив это уравнение, найдем значения a и b:
a = -1,
b = -1.
Теперь найдем значение y(x) интегрированием z(x):
y(x) = ∫(z(x)dx) = ∫((-1/x)dx) = -ln|x| + C.
Таким образом, общим решением дифференциального уравнения xy''-9y'=x является:
y(x) = -ln|x| + C.