Решите дифференциальное уравнение xy''-9y'=x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого дифференциального уравнения мы воспользуемся методом интегрирующего множителя.

Уравнение можно переписать в виде:

xy'' - 9y' = x.

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель μ(x), который определяется условием:

μ(x) = e^(∫(-9/x)dx) = e^(-9ln|x|) = e^(ln|x|^(-9)) = 1/|x|^9.

Умножаем уравнение на μ(x):

1/|x|^9 xy'' - 9/|x|^9 y' = x/|x|^9
y''/|x|^8 - 9/x^9 * y' = x/|x|^9.

Теперь введем замену переменных: z = y'.

Тогда получаем систему уравнений:

z = y',
z' = y''.

Исходное уравнение будет выглядеть как:

z/|x|^8 - 9/x^9 * z = x/|x|^9.

Теперь можем решить это уравнение. Для этого сначала решим однородное уравнение:

z/|x|^8 - 9/x^9 * z = 0,
z(|x|^(-8) - 9/x^9) = 0,
z = C/x^(-1).

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде z = az + b, подставим в уравнение:

az + b / |x|^8 - 9/x^9 * (az + b) = x/|x|^9,
az(|x|^(-8) - 9/x^9) + b(|x|^(-8) - 9/x^9) = x/|x|^9.

Решив это уравнение, найдем значения a и b:

a = -1,
b = -1.

Теперь найдем значение y(x) интегрированием z(x):

y(x) = ∫(z(x)dx) = ∫((-1/x)dx) = -ln|x| + C.

Таким образом, общим решением дифференциального уравнения xy''-9y'=x является:

y(x) = -ln|x| + C.