Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти: а) длину стороны АВ; б) уравнение сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; в) угол А в градусах;
г) уравнение высоты СД и ее длину; д) уравнение медианы АЕ и ее длину; е) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ; ж) уравнение окружности, диаметром которой служит сторона АС.
А (3;-3)
В (6;1)
С (7;-1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Длина стороны AB:
AB = √((6-3)^2 + (1+3)^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

б) Уравнение стороны AB:
Уравнение прямой, проходящей через точки A(3,-3) и B(6,1):
(y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) (x - x1)
(y - (-3)) = ((1 - (-3)) / (6 - 3)) (x - 3)
y + 3 = 4/3 * (x - 3)
3y + 9 = 4x - 12
4x - 3y - 21 = 0

Угловой коэффициент стороны AB: k1 = (1 - (-3)) / (6 - 3) = 4 / 3

Уравнение стороны AC:
Уравнение прямой, проходящей через точки A(3,-3) и C(7,-1):
(y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) (x - x1)
(y + 3) = ((-1 + 3) / (7 - 3)) (x - 3)
y + 3 = 1/2 * (x - 3)
2y + 6 = x - 3
x - 2y - 9 = 0

Угловой коэффициент стороны AC: k2 = (-1 - (-3)) / (7 - 3) = 2 / 4 = 1 / 2

в) Найдем угол А:
Угол А = arccos((AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2 AC AB))
BC = √((7-6)^2 + (-1-1)^2) = √(1^2 + 2^2) = √5
Угол А = arccos((5^2 + 5^2 - √5^2) / (2 5 5)) = arccos((25 + 25 - 5) / 50) = arccos(45 / 50) = arccos(0.9) ≈ 25.84 градуса

г) Уравнение высоты СД и ее длина:
Высота CD проходит из вершины C перпендикулярно стороне AB, будем искать уравнение прямой, проходящей через С и перпендикулярной AB. Найдем координаты точки D, куда опущена высота:
k1 * k_cd = -1, где k1 - угловой коэффициент стороны AB, k_cd - угловой коэффициент высоты CD
k_cd = -1 / k1 = -3/4

y - (-1) = -3/4 (x - 7)
y + 1 = -3/4 x + 21/4
3x + 4y - 5 = 0

Длина CD:
CD = |y - y_C| = |-1 - (-1)| = 0

д) Уравнение медианы AE и ее длина:
Медиана AE проходит из вершины A через середину стороны BC. Найдем координаты середины стороны BC:
Bc_x = (6 + 7) / 2 = 13 / 2
Bc_y = (1 - 1) / 2 = 0

Уравнение медианы AE:
(y + 3) = ((0 - (-3)) / (13/2 - 3)) (x - 3)
2y + 6 = -3/13 (2x - 6)
2y + 6 = -3/13 * 2x + 9/2
4x + 26y - 39 = 0

Длина AE:
AE = √((13/2 - 3)^2 + (0 + 3)^2) = √((13/2 - 3)^2 + 9) = √(0.5^2 + 9) = √(0.25 + 9) = √9.25 ≈ 3.04

е) Уравнение прямой, проходящей через точку E(13/2, 0) параллельно стороне AB:
Так как сторона AB: 4x - 3y - 21 = 0,
то параллельная прямая имеет такое же угловой коэффициент, k = 4/3:
(y - 0) = 4/3 (x - 13/2)
y = 4/3 x - 26/3

ж) Уравнение окружности, диаметром которой служит сторона AC:
Для построения окружности найдем центр, который будет находиться на середине отрезка AC:
Ac_x = (7 + 3) / 2 = 5
Ac_y = (-1 - 3) / 2 = -2

Радиус окружности равен половине длины стороны AC:
r = AC / 2 = √((7-3)^2 + (-1+3)^2) / 2 = √(16 + 4) / 2 = √20 / 2 = √5

Уравнение окружности:
(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 5