Доказать, что при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство:
(а + 4)*(b + 1)*(c + 4)≥32√abc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используем неравенство о средних:

Для двух положительных чисел x и y среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, то есть:

(x + y) / 2 ≥ √(xy)

Применим это неравенство три раза:

(а + 4)(b + 1)(c + 4) = (a + 4)[(b/2 + b/2) + 1][(c/2 + c/2 + c/2 + c/2) + 4]

По неравенству о средних для a и 4:

a + 4 ≥ 2√(a*4) = 4√a

Подставляем:

(a + 4)[(b/2 + b/2) + 1][(c/2 + c/2 + c/2 + c/2) + 4] ≥ 4√a [2√(b/2 b/2)] [4√(c/2 c/2 c/2 c/2)]

Упрощаем:

4√a [2√(b/2 b/2)] [4√(c/2 c/2 c/2 c/2)] = 4√a 2√b 4√c = 32√abc

Таким образом, доказано, что (а + 4)(b + 1)(c + 4) ≥ 32√abc при условии, что a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.