[tex]3 ^{2n} + 11 \times 5 ^{n} [/tex]Докажите что оно кратное 4

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что если число кратно 4, то остаток от деления этого числа на 4 будет равен 0.

Теперь рассмотрим выражение 3^{2n} + 11 * 5^n. Чтобы доказать, что оно кратно 4, нужно показать, что остаток от деления этого выражения на 4 равен 0.

Рассмотрим остатки от деления 3^{2n} и 11 * 5^n на 4 по отдельности.

Остаток от деления 3^{2n} на 4:
По теореме Эйлера остаток от деления a^n на m равен остатку от деления a^(phi(m)) на m, где phi(m) - это функция Эйлера, равная количеству чисел взаимно простых с m, не превышающих m. Для m = 4 функция Эйлера равна 2, так как взаимно простыми с 4 являются числа 1 и 3. Таким образом, остаток от деления 3^{2n} на 4 равен остатку от деления 3^2 на 4, то есть 9 mod 4 = 1.

Остаток от деления 11 * 5^n на 4:
Так как 11 / 4 = 2, остаток от деления 11 на 4 равен 3. Теперь рассмотрим остатки от деления 5^n на 4. Последовательность остатков будет следующей: 5 mod 4 = 1, 5^2 mod 4 = 1, 5^3 mod 4 = 1 и т.д. Таким образом, остаток от деления 5^n на 4 всегда равен 1.

Тогда остаток от деления выражения 11 5^n на 4 равен 11 1 mod 4 = 3.

Итак, сумма остатков от деления каждого слагаемого на 4 равна: 1 + 3 = 4.

Таким образом, сумма 3^{2n} + 11 * 5^n кратно 4.