А1. Периметр параллелограмма ABCD равен 80 см. А = 30о, а перпендикуляр ВН к прямой АD равен 7,5 см. Найдите стороны параллелограмма А2. Докажите, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны. А3. Постройте ромб по двум диагоналям. Сколько В1. Точки Р, К, L, M – середины сторон ромба АВСD. Докажите, что четырехугольник РКLM – прямоугольник.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

А1. Пусть AB = a, BC = b, CD = a, AD = c.
Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = a, BC = AD = c, AC = BD = d (диагонали параллелограмма).
Из условия периметра параллелограмма: 2(a+b) = 80, a+b = 40.
Также, из прямоугольного треугольника AVB (V - точка пересечения диагоналей): AV^2 + VB^2 = AB^2, получаем: d^2/4 + c^2/4 = a^2.
Так как угол A = 30 градусов, то AV = AB*sin(30) = a/2.
Аналогично, из треугольника АHC получаем, что HC = 7.5, так как угол HAC = 60 градусов.
Таким образом, используя данные выше, получаем систему уравнений:
d^2/4 + c^2/4 = a^2, a+b = 40, 2a + 2c = 80, c + 7.5 = a.
Решив эту систему, получаем a = 25, b = 15, c = 25, d = 20.
Ответ: стороны параллелограмма ABCD равны 25 см, 15 см, 25 см, 15 см.

А2. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция.
Тогда углы при основании AD и BC равны, так как противоположные углы равны у параллельных сторон равнобедренной трапеции.
Доказано.

А3. Для построения ромба по двум диагоналям необходимо провести серединные перпендикуляры к диагоналям, которые пересекутся в центре ромба.
Затем, используя полученные точки пересечения, провести прямые, параллельные сторонам диагоналей.
Таким образом, получим ромб.

В1. Докажем, что четырехугольник RKLM - прямоугольник.
Так как PR = RK = KL = LM, то RKLM - ромб.
Следовательно, у этого ромба все углы равны 90 градусов, и RKLM - прямоугольник.
Доказано.