Центр окружности, описанной... Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на на одной из его сторон и удалён от двух других сторон на 2 см и 2√3 см. Найдите радиус этой окружности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны a, b, c, а центр окружности o, радиус r.

Из условия известно, что расстояние от центра окружности до стороны треугольника равно 2см и 2√3см. Это означает, что центр окружности o лежит на высотах треугольника, проведенных из вершин углов треугольника. Поэтому o образует равнобедренный треугольник, а значит, можно сказать, что расстояние от o до стороны a равно 2 см, до стороны b равно 2√3 см и до стороны c равно r см.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой для площади треугольника через радиус описанной окружности:

S = abc / 4R

где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника, R - радиус описанной окружности.

Также известно, что площадь треугольника можно выразить через площадь треугольника через стороны:

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

где p - полупериметр треугольника: p = (a+b+c) / 2

Сравнивая два выражения для площади S, получаем:

abc / 4R = √p(p-a)(p-b)(p-c)

а также: p(p-a)(p-b)(p-c) = abc

Подставляем значения a = 2, b = 2√3, c = r и p = (2 + 2√3 + r) / 2, упрощаем уравнение и решаем его относительно r. Получаем, что радиус окружности равен r = 2√3.