Для проверки неравенства (2x+7)^2 >= (6x+1)^2, мы можем раскрыть обе стороны и упростить:
(2x+7)^2 = (2x+7)(2x+7) = 4x^2 + 28x + 49
(6x+1)^2 = (6x+1)(6x+1) = 36x^2 + 12x + 1
Теперь неравенство примет вид:
4x^2 + 28x + 49 >= 36x^2 + 12x + 1
После упрощения этого неравенства, мы имеем:
28x + 49 >= 32x^2 + 12x + 1
Перегруппируем:
32x^2 - 16x + 48 >= 0
8(4x^2 - 2x + 6) >= 0
4x^2 - 2x + 6 >= 0
Это квадратное уравнение не имеет корней, но чтобы понять, где оно положительное и отрицательное, мы можем использовать метод производных.
f'(x) = 8x - 2
f'(x) = 0 для x = 1/4
Проверяем знаки на интервалах (-∞, 1/4) и (1/4, +∞):
f''(x) = 8 > 0, так что это минимум
Следовательно, неравенство 4x^2 - 2x + 6 >= 0 и, следовательно, (2x+7)^2 >= (6x+1)^2 будет выполняться для всех значений x.
Для проверки неравенства (2x+7)^2 >= (6x+1)^2, мы можем раскрыть обе стороны и упростить:
(2x+7)^2 = (2x+7)(2x+7) = 4x^2 + 28x + 49
(6x+1)^2 = (6x+1)(6x+1) = 36x^2 + 12x + 1
Теперь неравенство примет вид:
4x^2 + 28x + 49 >= 36x^2 + 12x + 1
После упрощения этого неравенства, мы имеем:
28x + 49 >= 32x^2 + 12x + 1
Перегруппируем:
32x^2 - 16x + 48 >= 0
8(4x^2 - 2x + 6) >= 0
4x^2 - 2x + 6 >= 0
Это квадратное уравнение не имеет корней, но чтобы понять, где оно положительное и отрицательное, мы можем использовать метод производных.
f'(x) = 8x - 2
f'(x) = 0 для x = 1/4
Проверяем знаки на интервалах (-∞, 1/4) и (1/4, +∞):
f''(x) = 8 > 0, так что это минимум
Следовательно, неравенство 4x^2 - 2x + 6 >= 0 и, следовательно, (2x+7)^2 >= (6x+1)^2 будет выполняться для всех значений x.