Вычислить: a^{4}+\frac{1}{a^{4} }, если a-\frac{1}{a}=\frac{3[tex]\sqrt{7}[/tex]}{7}

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: a - \frac{1}{a} = \frac{3\sqrt{7}}{7}

Возводим обе части уравнения в квадрат:
(a - \frac{1}{a})^2 = (\frac{3\sqrt{7}}{7})^2
a^2 - 2a\frac{1}{a} + (\frac{1}{a})^2 = \frac{63}{49}
a^2 - 2 - \frac{1}{a^2} = \frac{9\cdot7}{7\cdot7}
a^2 - \frac{1}{a^2} = \frac{63}{49} + 2 = \frac{63+98}{49} = \frac{161}{49}

Теперь возводим все в четвертую степень:
(a^2)^2 - 2a^2\frac{1}{a^2} + (\frac{1}{a^2})^2 = (\frac{161}{49})^2
a^4 - 2 - \frac{1}{a^4} = \frac{161^2}{49^2} = \frac{25921}{2401}
a^4 + \frac{1}{a^4} = \frac{25921}{2401} + 2 = \frac{25921 + 4802}{2401} = \frac{30723}{2401}

Ответ: a^4 + \frac{1}{a^4} = \frac{30723}{2401}