Вычислить площадь криволинейной трапеции y=-x^2-4x;y=1;x=-3;x=-1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади криволинейной трапеции нужно найти интеграл функции, заданной между границами, а затем вычислить разность между значениями интеграла при верхней и нижней границах.

Сначала найдем точки пересечения заданных функций:

Подставим y=1 в уравнение y=-x^2-4x:
1 = -x^2 - 4x
Переносим все влево: x^2 + 4x + 1 = 0
Дискриминант D = 4^2 - 411 = 12
Найдем корни уравнения:
x = (-4 ± √(12)) / 2 = (-4 ± 2√3) / 2 = -2 ± √3
То есть x1 = -2 + √3 и x2 = -2 - √3 - точки пересечения.

Теперь вычислим площадь криволинейной трапеции:
S = ∫[a, b] |f(x) - g(x)| dx = ∫[-3, -1] |-x^2-4x - 1| dx
S = ∫[-3, -1] |-x^2-4x - 1| dx = ∫[-3, -1] |x^2 + 4x + 1| dx
Плота: x^2+4x+1 = (x + 2)^2 - 3
По модулю: |x^2+4x+1| = |(x + 2)^2 - 3|
Таким образом, интеграл можно разделить на два интеграла:
S = ∫[-2-√3, -1] |x^2 + 4x + 1| dx + ∫[-3, -2+√3] |x^2 + 4x + 1| dx

Далее интегрируем каждое из этих интегралов по формуле Ньютона-Лейбница и найдем общую площадь криволинейной трапеции.