При некоторых целых a,b,c число 3a+4b+5c делится на 11. Докажите , что тогда число 9a+b+4c будет делиться на 11.
Подскажите плз.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Пусть для n=1 утверждение верно, т.е. если 3a+4b+5c делится на 11, то 9a+b+4c также делится на 11.

Теперь предположим, что утверждение верно для некоторого k≥1, т.е. если 3a+4b+5c делится на 11, то 9a+b+4c также делится на 11.

Докажем, что тогда утверждение верно и для k+1.

Пусть дано, что 3a'+4b'+5c' делится на 11. Заметим, что разность между 3(k+1)+4b'+5c' и 3k+4b'+5c' равна 3, т.е. (3(k+1)+4b'+5c') - (3k+4b'+5c') = 3, так как a'=k+1. Таким образом, мы можем выразить выражение 9a'+b'+4c' как 9(k+1)+b'+4c' = 9k+9+b'+4c' = (9k+b'+4c')+9. Так как 9k+b'+4c' делится на 11 по предположению индукции, то (9k+b'+4c')+9 также делится на 11. Следовательно, утверждение верно и для k+1.

Таким образом, по принципу математической индукции мы доказали, что если 3a+4b+5c делится на 11, то 9a+b+4c также делится на 11.