Для нахождения производной функции y=(cosx)^tgx мы будем использовать правило дифференцирования функции, содержащей произведение функций.
Сначала преобразуем функцию y=(cosx)^tgx в эквивалентный вид:
y = exp(ln((cosx)^tgx)) = exp(tgx * ln(cosx)).
Теперь продифференцируем эту функцию по x:
dy/dx = d/dx [exp(tgx ln(cosx))] = exp(tgx ln(cosx)) d/dx[tgx ln(cosx)].
Применим правило дифференцирования произведения функций:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx d/dx[ln(cosx)] + ln(cosx) d/dx[tgx]).
Затем найдем производные ln(cosx) и tgx:
d/dx[ln(cosx)] = -tgx,d/dx[tgx] = sec^2(x).
Подставим эти значения обратно в формулу для производной:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx (-tgx) + ln(cosx) sec^2(x)).
Упростим выражение:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (-tg^2(x) - ln(cosx) * sec^2(x)).
Таким образом, производная функции y=(cosx)^tgx равна -tg^2(x)(cosx)^tgx - ln(cosx)sec^2(x)*(cosx)^tgx.
Для нахождения производной функции y=(cosx)^tgx мы будем использовать правило дифференцирования функции, содержащей произведение функций.
Сначала преобразуем функцию y=(cosx)^tgx в эквивалентный вид:
y = exp(ln((cosx)^tgx)) = exp(tgx * ln(cosx)).
Теперь продифференцируем эту функцию по x:
dy/dx = d/dx [exp(tgx ln(cosx))] = exp(tgx ln(cosx)) d/dx[tgx ln(cosx)].
Применим правило дифференцирования произведения функций:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx d/dx[ln(cosx)] + ln(cosx) d/dx[tgx]).
Затем найдем производные ln(cosx) и tgx:
d/dx[ln(cosx)] = -tgx,
d/dx[tgx] = sec^2(x).
Подставим эти значения обратно в формулу для производной:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx (-tgx) + ln(cosx) sec^2(x)).
Упростим выражение:
dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (-tg^2(x) - ln(cosx) * sec^2(x)).
Таким образом, производная функции y=(cosx)^tgx равна -tg^2(x)(cosx)^tgx - ln(cosx)sec^2(x)*(cosx)^tgx.