Производная y=(cosx)^tgx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной функции y=(cosx)^tgx мы будем использовать правило дифференцирования функции, содержащей произведение функций.

Сначала преобразуем функцию y=(cosx)^tgx в эквивалентный вид:

y = exp(ln((cosx)^tgx)) = exp(tgx * ln(cosx)).

Теперь продифференцируем эту функцию по x:

dy/dx = d/dx [exp(tgx ln(cosx))] = exp(tgx ln(cosx)) d/dx[tgx ln(cosx)].

Применим правило дифференцирования произведения функций:

dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx d/dx[ln(cosx)] + ln(cosx) d/dx[tgx]).

Затем найдем производные ln(cosx) и tgx:

d/dx[ln(cosx)] = -tgx,
d/dx[tgx] = sec^2(x).

Подставим эти значения обратно в формулу для производной:

dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (tgx (-tgx) + ln(cosx) sec^2(x)).

Упростим выражение:

dy/dx = exp(tgx ln(cosx)) (-tg^2(x) - ln(cosx) * sec^2(x)).

Таким образом, производная функции y=(cosx)^tgx равна -tg^2(x)(cosx)^tgx - ln(cosx)sec^2(x)*(cosx)^tgx.