Решить при всех b, при которых уравнение [tex]b^{2}x^{2} +bx-6=3bx^{2} +3x-2b[/tex] имеет ровно одно решение

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, его дискриминант должен равняться нулю.

Дискриминант квадратного уравнения [tex]Ax^{2} +Bx+C=0[/tex] равен [tex]D=B^{2} -4AC[/tex].

В нашем случае, уравнение принимает вид:
[tex]3bx^{2} -b^{2}x^{2} +3x-bx-6+2b=0[/tex]
[tex]-(b^{2} -3b+2)x^{2} -(b-3)x-6+2b=0[/tex]

Сравнивая с общим видом квадратного уравнения, получаем:
[tex]A=-(b^{2} -3b+2), B=-(b-3), C=-6+2b[/tex]

Теперь записываем дискриминант по формуле:
[tex]D=(-(b-3))^{2} -4(-(b^{2} -3b+2))(-6+2b)[/tex]
[tex]D=(b-3)^{2} +4(b^{2} -3b+2)(6-2b)[/tex]
[tex]D=(b-3)^{2} +4b^{2} -12b+8)(6-2b) [/tex]
[tex]D=(b-3)^{2} +24b^{2} -72b+48-8b^{2} +24b [/tex]
[tex]D=(b-3)^{2} +16b^{2} -48b+48[/tex]

Теперь приравниваем дискриминант к 0 и решаем полученное уравнение:
tex^{2} +16b^{2} -48b+48=0[/tex]
[tex]b^{2} -6b+9+16b^{2} -48b+48=0[/tex]
[tex]17b^{2} -54b+57=0[/tex]

Решаем это квадратное уравнение:
[tex]b{1,2}=\frac{54\pm \sqrt{54^{2} -41757}}{2*17}[/tex]
[tex]b{1,2}=\frac{54\pm \sqrt{2916 -3876}}{34}[/tex]
[tex]b{1,2}=\frac{54\pm \sqrt{-960}}{34}[/tex]
[tex]b{1,2}=\frac{54\pm 4\sqrt{-60}}{34}[/tex]
[tex]b_{1,2}=\frac{27\pm 2\sqrt{-60}}{17}[/tex]

Итак, уравнение имеет ровно одно решение при [tex]b=\frac{27\pm 2\sqrt{-60}}{17}[/tex]