Для любого числа x верно, что -x = -1 * x. Рассмотрим два случая:
Если x ≥ 0, то -x = -1 x = -1 x = x = |x|.Если x < 0, то -x = -1 x = -1 (-x) = |x|. В обоих случаях получаем, что |−x| = |x|.
По определению модуля |x| = x, если x ≥ 0, и |x| = -x, если x < 0. В обоих случаях значение модуля является неотрицательным.
Пусть |x| = 0. Согласно определению модуля, |x| = x, если x ≥ 0, и |x| = -x, если x < 0. Таким образом, |x| = 0 означает, что x = 0. Обратно, если x = 0, то |x| = |0| = 0. Следовательно, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
Рассмотрим три случая:
Если x ≥ 0, тогда -|x| ≤ x ≤ |x|, так как -|x| = -x ≤ x ≤ x = |x|.Если x < 0, тогда -|x| ≤ x ≤ |x|, так как -|x| = x ≤ x ≤ -x = |x|. В обоих случаях условие -|x| ≤ x ≤ |x| выполняется.
Доказательство:
Для любого числа x верно, что -x = -1 * x. Рассмотрим два случая:
Если x ≥ 0, то -x = -1 x = -1 x = x = |x|.Если x < 0, то -x = -1 x = -1 (-x) = |x|.В обоих случаях получаем, что |−x| = |x|.
По определению модуля |x| = x, если x ≥ 0, и |x| = -x, если x < 0. В обоих случаях значение модуля является неотрицательным.
Пусть |x| = 0. Согласно определению модуля, |x| = x, если x ≥ 0, и |x| = -x, если x < 0. Таким образом, |x| = 0 означает, что x = 0. Обратно, если x = 0, то |x| = |0| = 0. Следовательно, |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.
Рассмотрим три случая:
Если x ≥ 0, тогда -|x| ≤ x ≤ |x|, так как -|x| = -x ≤ x ≤ x = |x|.Если x < 0, тогда -|x| ≤ x ≤ |x|, так как -|x| = x ≤ x ≤ -x = |x|.В обоих случаях условие -|x| ≤ x ≤ |x| выполняется.