Угол между диагоналями прямоугольника равен 120°, а площадь прямоугольника 9 см2. найдите стороны прямоугольника

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Сначала найдем длину диагонали прямоугольника по формуле:
$$d=\sqrt{a^2 + b^2}$$

Так как угол между диагоналями равен 120°, то из косинусного закона для треугольника получаем:
$$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120°)$$
$$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab*(-\frac{1}{2})$$
$$d^2 = a^2 + b^2 + ab$$

Теперь зная, что площадь прямоугольника равна 9 см^2 можем записать:
$$ab = 9$$

Теперь можем записать систему уравнений:
[
\begin{cases}
a*b = 9 \
a^2 + b^2 + ab = d^2
\end{cases}
]

Подставим из первого уравнения значение $ab$ во второе уравнение:
$$a^2 + b^2 + 9 = d^2$$

Для простоты рассмотрим случай, когда $a = b$:
$$2a^2 + 9 = 2a^2$$
$$9 = 0$$

Таким образом, оказывается, что для данного угла невозможно построить прямоугольник.