Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третего членов равна 6. Найти первый член и знаменатель прогрессии

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим первый член геометрической прогрессии как (a), а знаменатель как (q).

Тогда второй член будет равен (aq), третий член будет равен (aq^2), а четвертый член будет равен (aq^3).

Из условия задачи у нас есть два уравнения:

[aq^3 = aq + 24]

[aq + aq^2 = 6]

Разделим второе уравнение на (a):

[q + q^2 = \frac{6}{a}]

Умножим его на (q):

[q^2 + q^3 = \frac{6}{a}q]

Теперь выразим (aq^3) из первого уравнения и подставим в полученное выражение:

[aq + 24 = aq + 6q^2]

[6q^2 = 24]

[q^2 = 4]

[q = 2]

Теперь найдем (a), подставив (q = 2) во второе уравнение:

[a \cdot 2 + a \cdot 4 = 6]

[6a = 6]

[a = 1]

Таким образом, первый член (а) равен 1, а знаменатель (q) равен 2.

Проверим:

Второй член: (1 \cdot 2 = 2)

Третий член: (1 \cdot 2^2 = 4)

Четвертый член: (1 \cdot 2^3 = 8)

Теперь убедимся:

Четвертый член больше второго на 24: (8 - 2 = 6)

Сумма второго и третьего членов равна 6: (2 + 4 = 6)

Условие выполняется, значит, наши ответы верны.