Решите задачу по математике сумма нескольких положительных чисел равна единице, докажите, что среди них найдётся число, не меньшее суммы квадратов всех чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что у нас есть несколько положительных чисел, сумма которых равна единице: a1 + a2 + ... + an = 1.

Нам нужно доказать, что среди этих чисел найдется как минимум одно число, которое не меньше суммы квадратов всех чисел.

Пусть m = min(a1, a2, ..., an). Тогда m <= a1, m <= a2, ..., m <= an. Умножим обе стороны на m:

m^2 <= a1m, m^2 <= a2m, ..., m^2 <= an*m.

Теперь сложим все неравенства:

m^2 + m^2 + ... + m^2 <= a1m + a2m + ... + an*m,

nm^2 <= m(a1 + a2 + ... + an),

n*m^2 <= m,

m <= 1/n.

Таким образом, m <= 1/n. Так как сумма всех чисел равна единице, то n >= 1 и следовательно m <= 1.

Теперь посчитаем сумму квадратов всех чисел:

a1^2 + a2^2 + ... + an^2 >= n*(m^2),

a1^2 + a2^2 + ... + an^2 >= n/m,

Так как m <= 1, то n/m >= n, и, следовательно, a1^2 + a2^2 + ... + an^2 >= n.

Таким образом, мы доказали, что среди данных чисел найдется как минимум одно число, которое не меньше суммы квадратов всех чисел.