Для нахождения данного предела, можно воспользоваться приемом умножения на сопряженное выражение.
lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1))
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
= lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1)) * (√(n^2-1) + √(n^2+1)) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim n(n^2 - 1 - (n^2 + 1)) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim n(-2) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim -2n / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
Теперь применим правило Лопиталя:
= lim -2 / (1/(2√(n^2-1)) + 1/(2√(n^2+1))) = lim -2 / (1/(2√(n^2)) + 1/(2√(n^2)))
= lim -2 / (1/n + 1/n) = lim -2 / (2/n) = lim -n = -∞
Поэтому lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1)) = -∞ при n -> ∞.
Для нахождения данного предела, можно воспользоваться приемом умножения на сопряженное выражение.
lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1))
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение:
= lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1)) * (√(n^2-1) + √(n^2+1)) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim n(n^2 - 1 - (n^2 + 1)) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim n(-2) / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
= lim -2n / (√(n^2-1) + √(n^2+1))
Теперь применим правило Лопиталя:
= lim -2 / (1/(2√(n^2-1)) + 1/(2√(n^2+1))) = lim -2 / (1/(2√(n^2)) + 1/(2√(n^2)))
= lim -2 / (1/n + 1/n) = lim -2 / (2/n) = lim -n = -∞
Поэтому lim n(√(n^2-1) - √(n^2+1)) = -∞ при n -> ∞.