На олимпиаде было предложено 5 задач, и несколько участников получили первые премии. Известно, что никакие четверо из них не решили в совокупности всех пяти задач, но любые пятеро решили- также в совокупности-все задачи. Сколько человек получили первую премию?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что было ( n ) участников, получивших первую премию. Тогда мы можем составить следующие неравенства:

Каждый человек может решить не более чем 4 задачиЛюбые 5 человек из них решат все 5 задач

Из неравенства 1 следует, что в общей сложности они могут решить не более ( 4n ) задач. Но из неравенства 2 и условия задачи следует, что общее количество решенных задач должно быть равно 5 * 5 = 25. Таким образом, мы получаем:

[ 4n \geq 25 ]

Рассмотрим несколько возможных значений ( n ):

При ( n = 6 ), общее количество задач, которые они решили бы, было бы 24, что меньше 25.При ( n = 7 ), общее количество задач, которые они решили бы, было бы 28, что больше 25.При ( n = 5 ), общее количество задач, которые они решили бы, было бы 20, что меньше 25.

Таким образом, (\boxed{7}) участников получили первую премию.